关于本书

《八卦微积分（The Making of Calculus）——知乎汪有作品》/汪有

出品人 周源

策划编辑  梅莹

设计 刘奕含

校对 高正哲

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本电子书版权为北京智者天下科技有限公司所有，未经书面授权，不得在任何地区以任何方式反编译或节录本书内容。

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最后修订：2017 年 03 月 23 日

出版：浙江出版集团数字传媒有限公司

浙江 杭州 体育场路 347 号

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「一小时」电子书出版序

知乎创始人 周源

感谢你阅读知乎推出的「一小时」系列电子书。

「一小时」系列是什么？

这是一系列短小精炼的电子书。我们邀请了知乎各专业领域的知友在书中分享他们的知识、经验和见解。如果你足够认真，便可以在一个小时内读完一本书。

这里既有日常经济分析，也有人文历史，既有职场经验，也有生活中的科学。这些作者，都是我们精心为你寻找，在各个领域拥有独到见解的专业人士。而我们出版的每一本书，都会解释一个问题，分享一种思路，展开一个视角。

地铁上，入睡前，在这些细碎的时间里，挤出一小时的时间，静下心，读下去。

你很忙，但知识不慌张。

愿你从「一小时」开始，对这个世界，又多了一分认识。

八卦微积分

一、谁发明了微积分

1. 一篇文献引起的巨人相搏

如果要在科学史上找出一次最重要的巨人相争，牛顿与莱布尼茨围绕微积分发明权的争论无疑是当仁不让之选。

1684 年 10 月，莱比锡大学学术刊物《学术论文集》刊载了一篇名字烦琐冗长的论文——《一种求极大值与极小值和求切线的新方法，也适用于分式和无理量以及这种新方法的奇妙类型和计算》；作者是戈特弗里德·威廉·莱布尼茨。

在这篇薄薄六页纸的论文里，莱布尼茨发布了微积分的微分思想。

对于这篇论文，莱布尼茨怀着父亲般的喜悦，得意地宣称微分的应用如同魔术般神奇，完全可以使「其他渊博的学者百思不解」。

重大的变革在历史波澜不惊的表面之下悄然发生，在当时，这篇论文并没有引起意料之中的波动。一方面是因为莱布尼茨写作时刻意模仿笛卡尔《几何学》中干瘪简约的文风，另一方面也是因为在这篇略显粗糙的论文里，很多问题还都悬而未决，微分的体系还不完整。即使在后来莱布尼茨最为亲近的朋友，微积分宗师伯努利兄弟看来，这篇论文也「与其说是一种说明，还不如说是一个谜」。

不过，这并不影响莱布尼茨做出近代数学史上最伟大的创举：这是数学史上首篇公开发表的微积分文献，比牛顿公开发布的微积分论文早三年，现代数学体系从此而建立。

微积分的发明，成为十七至十八世纪最为重要的科学成果，微积分为数学、物理、天文、工程多个学科提供了锋利的屠龙利器：天体的运行、琴弦的振动、机械的运作，甚至到电动力学都处在微积分的研究之下。数学的爆发式发展，推动着启蒙时代学者们建构起现代的科学体系。

这也是科学史上最危险的一根导火索，日后，围绕着微积分的发明权争端，数学界的两大山头莱布尼茨与牛顿，以及背后的欧陆学界与英国学界开展了绵延四十年的争斗，双方启动了豪华的助威团队，这场争论被数学史家称作「巨人相搏」，双方的参战名单到今日看来都璀璨耀眼。

2. 整个世界都在等待这么一门学科

微积分，Calculus，在后世数学家冯·诺依曼的笔下，是「现代数学取得的最高成就，对它的重要性怎样估计也不会过分」。说到这一段时，冯·诺依曼郑重其事地加上了定冠词 the，「the calculus」，以彰显其独特重要。

虽然是一个新学科，但微积分 calculus 这个单词，却上承古罗马的黄金时代。在拉丁语里，calculus 代表计数用的石子，从计数石子的 calculus，又衍生出了计算 calculate。万法归宗，如今的微积分思想，在历史上可以一直向上溯源到数学的鸿蒙发微之时。微积分的实际应用也由来已久，从阿基米德当年使用穷竭法研究弓形面积，再到中国刘徽的割圆术，用多边形逼近法求取圆周率，微积分的思想，一直一脉相承。

科学思想的进步当然不会是空中楼阁，社会的实际需求一直推动着学者完成相关理论的研究。如今被《高等数学》摧残得焦头烂额的学子们往往把微积分当作象牙塔里的考试内容，笑谈这只是教育机构为了收取补考费的工具；然而，微积分是一门实用科学，在漫长的微积分孕育的时间里，整个世界都在等待这么一门学科对种种实际问题加以解决。

古希腊的数学家芝诺提出「飞矢不动」悖论：一支射出去的箭在每一个瞬间都有一个暂时的位置，好比在影片中我们将画面定格，飞箭在空中一动不动；由于每一个瞬间都是一次定格，如果每一个瞬间里，飞箭都是不动的，那么为什么在连续的时间里，箭却可以在空中飞动呢？这个悖论引申下去，当飞箭在空中飞动之时，它的瞬时速度似乎应该由距离除以时间得出，可是在一个「飞矢不动」的瞬间，时间是零，又如何求得它的瞬间速度呢？——在这里，对微积分的需求在于速度与位移求解问题。

17 世纪，望远镜的极大发展为天文学提供了「天空的权杖」，靠着一支双镜片望远镜，「伽利略」和「开普勒」们发现木星卫星、发现金星盈亏、发现月面坑洼，为打破亚里士多德的传统天球体系、建立日心说找到铁证，一举奠定近代天文学的基础。天文学的发展也催生了对透镜愈发严苛的需求，光学随之蓬勃发展，计算曲线透镜的折射反射成为重中之重——在这里，对微积分的需求在于求曲线的切线问题。

一只中间凸出的葡萄酒桶，到底可以装下多少体积的美酒？一条行星的曲线轨道，围合了多大的面积？一颗炮弹被发射出炮筒，要用怎样的角度可以让大炮的射程最远？——在这里，对微积分的需求在于计算曲线的长度、围合面积以及体积。

世界一直在等待着能解开这种种问题的学者，历经了千年的积淀，他等来了不止一位，而是两位：牛顿与莱布尼茨，正是在这个时间节点走进了历史。

3. 牛顿先生的拖延症

当 1684 年，莱布尼茨发布那篇名字冗长枯燥的论文之时，一海之隔的牛顿当然不会满意。毕竟，微积分在牛顿看来，只是他在十八年前随手发明的数学工具。

十八年前，1666 年，如今在科学史上被称作奇迹年。

也正是 1666 年，牛顿遇到了他的苹果。

这一年牛顿 23 岁，已经从剑桥大学毕业两年。这位出身乡下农场的遗腹子在剑桥大学期间如饥似渴地汲取历代数学家的养分，广泛学习了笛卡尔、伽利略和波义耳的学说。

这一年鼠疫肆虐英伦，牛顿本应留校工作，此刻也不得不因为瘟疫避祸于家乡伍尔索普庄园。看到落地的苹果，牛顿一时福至心灵，猜测或许将苹果拉向地面的力量与地球束缚月球的力量本出同源。他随手拿过纸张，写满密密麻麻的计算，最后得出了引力的平方反比定律，这是后来万有引力定律的前身。在计算月球轨道涉及的向心力计算时，为了方便计算，他发明了「流数法」。

这是后来微积分的滥觞。

这一年，伍尔索普庄园牛顿的质朴别墅，悄然间成为世界数学中心。

牛顿关于微积分的三大主要著作包括《流数法》《求积术》和《分析术》，他关于微积分的大多数思想都形成于奇迹年开始之后的十年之间，十年中，他只是把微积分当作自己随手使用的简便算法，牛顿一直对自己的成果秘而不宣。直到莱布尼茨在 1684 年发布微分论文，又在两年后发布积分学论文，补足微积分体系，牛顿才惊觉，自己在二十几岁时发明的小小工具，已经成为一门崭新的学科。

没有人知道牛顿将微积分理论禁锢在书房之中的确切原因，围绕着这一话题，历史学家展开过诸多猜测：

首先，牛顿担心新论文发布会给自己引来麻烦。1672 年，牛顿曾经在伦敦皇家学会《哲学学报》发布自己的光学论文，以此前十年间大量的实验为基础，热情洋溢地邀请同行重复自己的实验。然而即使论文广受好评，也不免收到蜂拥而来的批评，牛顿要花费大量时间来回应空洞浅薄的诘难。经此事件，牛顿虽然继续着研究，却不愿将其发表。

此外，学科草创之初，理论框架还远非完善。在牛顿的流数法中，引进了「无限小量」的说法。在运算当中，「无限小量」先是正常参与运算，随后再近似为零处理——这样的处理方法，存在着「无穷小既是零又不是零」的矛盾。

牛顿敏锐地发现了这一矛盾，并希望将其摆脱。他没能成功，只能谨慎地予以使用。在后来的微积分发展里，「无限小量」一直困扰着历代数学家，它甚至被称作数学「幽灵」。故而学界亦有猜测，牛顿希望完善微积分体系后再进行发表，以一举奠定微积分的稳定根基。

无论是什么原因，这一拖便拖到 1684 年，莱布尼茨以微积分第一人的姿态发布论文，两篇论文里都没有提到牛顿的名字。

牛顿当然有理由愤怒，在他的印象里，早在八年前的 1676 年，莱布尼茨便已经和他通信，谈及了微积分的研究。如果莱布尼茨要发布一篇微积分论文，又怎么可以忽略牛顿做出的贡献。

4. 「前函」与「后函」

莱布尼茨比牛顿年轻四岁，出身神圣罗马帝国官宦世家、书香门第，家中三代出仕宫廷，父亲是莱比锡大学教授。莱布尼茨自幼饱读名家著作，接受过良好的教育，1676 年，三十岁的莱布尼茨已经前往巴黎担任外交官四年。

也正是在巴黎四年的历练改变了莱布尼茨的生活轨迹。刚抵达巴黎时，他还只是一个数学新手，连重心的正确定义都不大懂，对笛卡尔的代数了解也不深刻。很快，他结交了法国巴黎科学院奠基人、光学宗师惠更斯，迅速汲取着科学养料。他还两度访问英国，与英国学者们建立联络。短短四年之内，莱布尼茨便已经在微积分领域取得突破，开始利用无限小技巧去求解曲线围合的面积。这个数学新手已经迅速成长为一位宗师。

勤奋与天才的共同作用，让他得以独立于牛顿再度发明微积分。与牛顿从天体轨道计算入手创立微积分的道路不同，莱布尼茨以数学家身份，从几何学切线面积问题发散，提出了同样的数学理论，二者殊途同归。

也正是在 1676 年，莱布尼茨与交好的英国皇家学院秘书奥登堡联络，了解到牛顿在进行无穷级数相关的研究，便在奥登堡的引荐下与牛顿进行了短暂的通信。

其中两封最重要的牛顿回函如今被称作「前函」与「后函」，一封长达 11 页，另一封更长达 19 页，其中约略提及了牛顿的数学研究。

谨慎的牛顿一方面担心莱布尼茨窃取自己首创的微积分思想，另一方面却又要彰显微积分的首创之权。两封信遮遮掩掩而疑心重重，他提到了自己在研究「流数」，却又不愿意具体阐述，只是留下了一段难解的密码：6accdae13eff7i319n404qrr4s8t12vx。

如果解开这段密码，它大概的含义是：「已知包含若干流量的方程，求流数；或者反过来，已知流数，求流量。」

这段语焉不详的文字，是公开信函中最早关于微积分的定义。然而即使只是透露这样的只言片语，也足以让牛顿担心自己的成果外泄。在「后函」中，牛顿听闻莱布尼茨在信件中提到的与自己体系有异但内核一致的微积分体系，他不算客气地评价道：「以前悬而未决的问题现在同样无解。」

二人的通信就此中断，莱布尼茨虽然热情地回复了这一封「后函」，给出了自己在微积分方面的部分细节，并邀请牛顿复信，但他再也没有收到牛顿的任何回应。双方在此后整整八年里一直对彼此的研究成果保持缄默，两位巨人在这里分道扬镳。在这次两人彼此之间的谨慎试探里，双方都没有得到太多有用的信息。

5. 愤怒的牛顿撕破了脸皮

面对莱布尼茨的论文，愤怒的牛顿引而不发，没有立即给予反驳。他埋下头去，继续自己已经在创作之中的巨著。仅仅一年半后，他出版了三巨册版本的作品《原理》。

这部书是科学史上最重要的科学著作，没有之一。牛顿以一己之力，构建了人类有史以来最宏伟的科学体系：他将自己在 1666 奇迹年发现的万有引力定律和盘托出，并提出牛顿力学三大定律，囊括了微积分、光学、流体力学的相关知识，将伽利略用于地面的力学体系和开普勒用于天空的力学体系加以统一。

它的全名是《论自然哲学的数学原理》，因为它实在太重要，太过独一无二，学术界提到这本书，已经无须提到全称，只需要说出《原理》，便众皆知晓。

在《原理》的第二册中，牛顿特别增加了一段叙述，提到了之前与莱布尼茨「前函」与「后函」的通信，陈明自己才是微积分的最早发明人。当年牛顿在遮掩之中几乎没有透露太多干货的两封信函，如今成了牛顿一方指责莱布尼茨剽窃的重要证据。

这是牛顿针对莱布尼茨反击的开始。靠着《原理》的出版，这个原本在欧洲学界还不够出名的学者已经如日中天，作为当仁不让的学术权威，牛顿终于具备了直接与莱布尼茨客场作战的实力。

起先二人之间的争端礼貌而绅士，经过了长久的历练，科学界已经有了不成文的规定——即使是针锋相对的阵营，往来通信之时也至少要做到虚与委蛇。牛顿与莱布尼茨留下的通信之中，大多还是彬彬有礼地使用尊称，结尾还不忘写上一句「我非常重视您的友谊」。双方的汹涌情绪被压抑在波澜不惊的表面之下，然而光阴流逝，也终将令水面之上的人们有所察觉。

牛顿一方首先撕破脸皮，来自英国皇家学院的元老，数学家沃利斯率先出手，在自己的著作《数学研究》中直接刊出了「前函」与「后函」，尖刻地暗示牛顿的成果以莱布尼茨的名义风行欧陆。英国数学家基尔随后跟进，直接指出「任何人只要读过沃利斯公布的这些信件都不难判断」「同样的算数却由莱布尼茨发表」。

莱布尼茨则嘲讽牛顿的门徒：「牛顿的追寻者除了重复他人已经完成的工作，并没有做出任何特殊的贡献。」

6. 伯努利兄弟，莱布尼茨的旗手

莱布尼茨敢于对英吉利海峡彼岸大开地图炮，嘲笑牛顿门徒的学术水平，也恰恰是因为在自己的阵营中，有了两位杰出的旗手：来自伯努利家族的一对兄弟——哥哥雅各布·伯努利和弟弟约翰·伯努利。

伯努利家族，作为科学史上的传奇世家，在三代之中为世界贡献出八位科学家，家族一百多位后裔均在历史上占有一席之地。父亲尼古拉·伯努利，是瑞士巴塞尔市的香料商人，让兄弟从小便受到了良好的教育。

伯努利兄弟，便是伯努利家族在科学史上的第一代学者：哥哥雅各布·伯努利生于 1654 年，本是艺术与神学硕士出身，长于微积分、无穷级数求和，更承接费马和帕斯卡的研究，成为概率论领域的大师。1687 年，雅各布已经成为巴塞尔大学教授，通过莱布尼茨的论文开始投身微积分研究。被莱布尼茨赞誉为少有的能理解自己微积分思路的学者。

弟弟约翰·伯努利，是尼古拉的第十个孩子，晚于哥哥雅各布 13 年出生，数学天赋更胜其兄，他读到莱布尼茨的微积分论文时，还只是 21 岁的青年。父亲曾经逼他从商，然而他执意跟从哥哥雅各布学习数学技巧。跟随哥哥学习莱布尼茨的微积分理论仅仅两年，他靠着远过于哥哥的天赋，已经积累了与雅各布同等的数学功底，他以莱布尼茨为自己的师长，二人迅速地建立起通信联系。

约翰·伯努利是第一本微积分教科书的实际作者。他的学生，以洛必达法则写进高数课本的洛必达侯爵，为了在数学史上占有一席之地，直接购买汇编了约翰·伯努利的研究成果，将老师的作品汇编在数学专著《用于了解曲线的无穷小分析》里，成为完善的教科书。他为约翰提供了大额金钱资助，约翰拿人手短，一时间不便点破书籍的真实作者。

考虑到这毕竟不是自己的成果，洛必达侯爵在教科书的前言里谦虚地向莱布尼茨与约翰·伯努利致谢，表示「我无偿地使用了他们的发现」「只要他们愿意，我真诚地把他们要求拥有的任何东西归还他们」。只是约翰事后终于反悔，声称自己对洛必达法则的所有权，抱怨是洛必达用金钱换取他人的才智。然而这种事后声明已经于事无补，洛必达法则已经成为学界标准称谓，约翰·伯努利的洛必达法则，让那个本应在历史上籍籍无名的贵族学生在数学领域得到了永生。

约翰·伯努利看到大洋彼岸对老师的指控，力主莱布尼茨直接出面，与牛顿针锋相对。——这倒也符合约翰本身脾气暴躁、个性刚硬、好斗的性格。早在 1690 年，微积分刚刚发布六年时，约翰便已经与自己的哥哥势同水火。

那时莱布尼茨受制于繁忙的工作，在微积分方面的工作远称不上细致，为后世数学家留下了大量亟待填补的空缺。哥哥雅各布·伯努利最先在积分规范化方面出手，筚路蓝缕，开始规范统合这一崭新的学科，我们今天通用的「积分」一词便是出自雅各布的设定。弟弟约翰·伯努利则奋起直追，以莱布尼茨真正传人自居，兄弟二人互生嫌隙，却也互相激励着彼此进入更深的探索。哥哥雅各布面对数学水平已经远远超过自己的弟弟，一直倨傲地以「我的学生」称呼对方，而弟弟约翰不满哥哥的托大，一直暗中隐忍，终于突然发难，亲自对兄长打脸。

7. 悬链线研究：被弟弟打脸的雅各布

两兄弟之间首次大规模的较量起源于悬链线研究，该问题试图求出，一段绳子两端被固定，中间松垮的绳子自然下垂时，形成的曲线是何种形状。

表面看来，这是非常简单的函数问题，但学界却久久未有定论。这个问题历史悠久，达·芬奇就曾经对其进行探究。他曾研究过，如果要去绘画戴项链的女人，那么项链自然下垂的曲线应当如何绘画。此后，学界的伽利略、惠更斯、莱布尼茨都对这个问题有所涉猎，很多人猜测悬链线是一条抛物线，但受限于传统的数学工具，均未得证。

雅各布·伯努利得到微积分神器，意图一举解决问题。1690 年，雅各布正式投入到悬链线求解的工作当中去，整整一年未能建功。次年，弟弟约翰·伯努利出手，只用了一夜便求出了结果，那是一个双曲余弦函数，方程长这样：

约翰·伯努利无法掩饰这场学术胜利的欣喜，他大肆宣扬着自己仅仅一夜便搞定了哥哥一年都未能解决的数学难题。雅各布则被弟弟直接打脸，引以为奇耻大辱。

这场关于悬链线方程的求解争端绝非无聊的意气之争，诚如此前所言，当时的微积分不是象牙塔里的纯学术工具，而是在社会领域里广泛利用的实用性学科。悬链线的方程被解出不久，已经开始用于指导吊桥以及塔楼的建筑设计，直到今天，人们建造高压输电线的时候，还能看到这个方程留下的影子。兄弟之间的嫌隙固然互有胜负，但最终从争论中受益的却是整个学界。

8. 最速降线问题：「我从他的利爪，认出了这头狮子。」

赢下了悬链线之争，约翰·伯努利更加志得意满。1697 年，约翰看到老师莱布尼茨面临着英国皇家学院的讽刺，在微积分发明权中已经处于下风，他发动了另一场不见硝烟的学术决斗，提出了「最速降线问题」，向全欧洲的数学界提出挑战，希望通过这一场决斗击溃来自英国方向的反驳。

最速降线问题，在大半个世纪前由伽利略提出，它希望求得：一个小球在重力作用下滚落，如果不计摩擦力，问沿着什么形状的曲线滚落，可以让滚落的时间最短。

直觉看来，似乎应该沿着一条直线下滑，毕竟「两点之间线段最短」。然而最短的路径并非是最快的路径，如果路径下凹，则滚落的小球在一开始就可以获得更高的加速度，反而可以更早滚到终点。

现在要求解的就是这条凹陷曲线的方程，约翰以得意的语调，宣布自己早已得知问题的答案，只待有识之士以同等智慧将其揭晓。怀着为老师出头的心态，约翰在声明之中，还专门对牛顿加以暗讽，并专程将问题寄往英国，看看这位自称先于老师莱布尼茨发明了微积分的数学家是否当真名副其实。

以约翰·伯努利的造诣，已经可以用天才来形容。然而年轻的天才在学界第一人牛顿面前，还是出现了后人眼中人类常见错觉：

「我能反杀。」

牛顿当时已经离开生活三十年的剑桥，前往伦敦工作整整一年，时年五十三岁的他正担任英国造币局局长。局长本为养老闲职，可牛顿却以科学家的精密和前所未有的热情对整个造币局加以改造，以铁腕迅速攫取并扩大的造币局长的权力。他提高造币厂产能，与造伪币者斗智斗勇，成为出色的大英官僚。

在约翰·伯努利的挑战信函寄到伦敦牛顿的府邸之时，他刚刚忙完当日铸造新币的工作到家。精疲力竭的牛顿见信愤怒异常，直言：

「我不喜欢在数学问题上被外国人戏弄。」

随后他拿起伯努利的信函，直接计算到翌日凌晨。当年约翰·伯努利在悬链线问题上打脸哥哥雅各布，只用了一夜时间。如今牛顿得到伯努利问题的正确答案，也只是用了一夜：

最速降线是旋轮线。旋轮线标准函数方程长这样：

X=a( θ-sinθ)

y=a( 1-cosθ)

那一年的复活节将近之时，约翰·伯努利收到了四份正确答案。他的老师莱布尼茨和学生洛必达侯爵通过此前长久的研究，都给出了正确解答，他的哥哥雅各布也提交了正解。

给他最后重击的则是最后一份答案。那份答案论证清晰流畅，没有署名，只是在信封上盖有来自英国的邮戳。

约翰·伯努利看着纸上优美的论证，带着羞恼与敬畏感叹：

「我从他的利爪，认出了这头狮子。」

9. 大师的葬礼，潦草得像是埋葬一个强盗

在大多数的科学史记录当中，都将约翰·伯努利一眼认出牛顿的匿名答案归功于牛顿优雅简洁的论证。不过，也有部分原因在于：牛顿和莱布尼茨各自独立发明微积分时，也各自独立发明了一套微积分的记法，牛顿采用点记法，而欧洲大陆采取了莱布尼茨更加简洁并一直沿用至今的现代记法。牛顿匿名信函之中的点记法符号，也相当于牛顿的独家签名。

莱布尼茨作为符号学大师，慎重而精心地选取着微积分的符号体系。我们今天的数学符号体系中，很多符号都出自于莱布尼茨的贡献。相似符号∽、全等符号≌、交集符号∩、并集符号∪都是出自莱布尼茨的手笔。微积分中最重要的符号积分∫也是莱布尼茨的发明，他源自拉丁语 summa，对应英语的 sum。应用到微积分之中，莱布尼茨的符号体系简洁优雅，远远超过了牛顿的点记法。而牛顿早期的著作中，有大量本可用符号清晰表述的概念，他只是简单粗暴地采用文字表述。

好比在牛顿的《原理》第三版中，有这么一段冗长难解的文字：

「量在其中的消失的最后比，严格说来，不是最后量的比，而是无限减少的这些量的比所趋近的极限，而它与这个极限的差虽然比任何能给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前既不能越过也不能达到这个极限。」

可是，到了莱布尼茨的手稿里，要表达同样的含义，只需要写下：dy/dx。

符号体系的差异也暗中扭转了英吉利海峡两岸的学术实力对比，争论过后，英国学者沉醉民族荣光，故步自封，拒绝采用莱布尼茨的先进符号体系，也一直与欧洲大陆的学者划清界限，导致在此后很长的一段时间里，英国并没有涌现出伯努利兄弟这样重量级的数学大家。牛顿去世之后，作为微积分起源地的英国，数学学科能力开始逐渐落后于对岸。

至于约翰·伯努利，在最速降线问题失手后，开始在微积分优先权争端中退居二线，莱布尼茨终于走上前台。此时英国方面也出现了变动，1703 年，担任英国皇家学会会长多年的胡克逝世。这位脾气暴躁怪异的科学家多年间树敌无数，也是牛顿的宿敌。早在牛顿的光学论文发布之际，胡克便站出来大声质疑，后来牛顿在估算平方反比定律之时又犯过一个小错，被胡克揪住不放四处宣扬。两个人的相互敌视争吵持续了三十年，最终胡克的死亡为这场争论画上了句点。

牛顿在胡克去世后成为英国皇家学会会长，靠着在造币局锻炼出来官僚技巧，他迅速将皇家学会变成了自己的私属领地，一批拥护牛顿的学者被迅速提拔，身居要职。靠着科学方面的成就，牛顿得以受封爵位，成为因科学贡献而受封贵族的第一人。

这是牛顿一生影响力的巅峰。

巩固了自身的地位，牛顿终于可以亲自出手，料理与莱布尼茨二十年来的恩怨。

面对皇家学会牛顿追随者纷至沓来的攻击，莱布尼茨同样作为英国皇家学会会员，在 1711—1712 年连续两次向学会秘书长递交言辞激烈的抗议。他委托了可靠的使者，在皇家学会的会议上当场宣读自己的指控，愤怒的言辞回荡在皇家学会会议室的四壁之间，会议场上一片默然。

牛顿当然不会将自己的主场拱手相让，他随后以皇家学会的名义，组建起一支十一人委员会，来处理两人之间的争端。这个委员会名义上看来是由独立公正人士所组成，然而其中多是牛顿安插的至交好友。其中最为重量级的就是天文学家哈雷，哈雷彗星就是因他命名。当然，为了避免与牛顿的连带关系被揭露，委员会在六个月后出具的报告完全匿名，直到百年之后人们翻阅学会档案时才拿到这份委员会名单。至于那份匿名出具的报告，对牛顿一方的陈述和理由都详加阐述，提到莱布尼茨一方是却往往语焉不详。结论毋庸置疑地偏向牛顿，表示牛顿先生是毫无异议的微积分第一发明人。

这是牛顿对莱布尼茨最后的重击，后来莱布尼茨与约翰·伯努利发布声明，通报全欧，但话语权终究不能匹配。牛顿统治着整个皇家学会，而莱布尼茨却只是汉诺威选帝侯乔治治下的小小宫廷官员；牛顿有着一大群拥趸鞍前马后地效劳，而莱布尼茨的支持者约翰·伯努利，或许是对牛顿当年的最速降线问题的求解印象深刻，始终不愿正面与牛顿对抗。

晚年的莱布尼茨流年不利，他此后一直服务于汉诺威宫廷，在当时的英国女王驾崩之后，通过对王位继承法精深的理解，多方奔走，协助自己在汉诺威的主公乔治成为英国国王，史称乔治一世。然而，乔治刚刚上任便抛弃了功臣，为了防止莱布尼茨和牛顿的争端影响自己在英国的统治，乔治一世甚至拒绝莱布尼茨随同自己前往英伦就职。莱布尼茨只能在废弃的汉诺威宫廷里度过余生。

莱布尼茨最终在 1716 年长逝于痛风与胆结石引起的绞痛，去世之时仅有一位医生与秘书送行，甚至没有牧师为他祈祷。这位大师的葬礼，潦草得像是埋葬一个强盗。

10. 单方面宣布的胜利不叫胜利

莱布尼茨的死亡给了牛顿单方面陈词的机会，委员会出具的匿名报告成为他最有力的武器。这些文件有些被起草数十次，总页数超过 500 页，一直保存到了今日。牛顿在很久之后，还在与朋友的谈话中，得意地谈起自己漂亮的反击，而那时，牛顿的生命也只剩下几个月的路途。

莱布尼茨去世后，牛顿又继续生活了十一年，在 1727 年去世。十一年里牛顿一直单方面宣布着自己的胜利。不过，今天看来，来自牛顿的打压并未奏效，如今的人们公正地将牛顿和莱布尼茨同时视为微积分的发明人。

在历史上，历代数学家在微积分诞生的前夜都做出过自己的探索，「业余数学家之王」费马建立了求切线、极大值和极小值以及定积分方法；英国皇家学会奠基人沃利斯在《无穷小算术》里采用了无穷小量的学说；牛顿在剑桥大学的导师巴罗率先发现了切线和面积问题的互逆关系，这将在未来推导出微分与积分的互逆。但发明微积分的荣耀终将归于牛顿和莱布尼茨——是他们共同提出了微积分这两个基本概念，是他们发展起使用微积分概念的基本算法和表述形式，是他们都用微积分解决了前人不能解决的问题。

二、脆弱的微积分

1.「无穷小量」与第二次数学危机

不过无论是牛顿还是莱布尼茨，他们都没能完成一件事，那就是——用经典希腊几何式的严谨为微积分学科确定准确的学科定义。他们搭建起一座高耸入云的楼阁，可支撑整座大厦的却是摇摇欲坠的脆弱根基。

这正是之前数学史家猜测牛顿不敢率先发布微积分的一个原因：微积分最脆弱之处，正在于微积分的基础概念——「无穷小量」的应用。

在微积分运算之时，往往要引入一个无穷小量。在运算之初，无穷小量还一直参与正常的运算，然而，运算的末端，数学家又往往把无穷小量近似当成 0 处理，造成了「无穷小量既不等于 0 又等于 0」的矛盾。

数学家们不禁要问，为什么在运算的前几步里，你的无穷小量还可以当做分母，可为什么到了最后一步，你却非要将它近似为 0？如果当成了 0，你在之前凭什么把它放在分母的位置上？

牛顿和莱布尼茨都没能解答。

「无穷小量既不等于 0 又等于 0」的矛盾，直接导致了第二次数学危机的出现，其中，对微积分基础最严苛的质疑，来自于十八世纪著名唯心派哲学家：乔治·贝克莱。

乔治·贝克莱，作为十八世纪最重要的哲学家之一，是主观唯心主义的创始人。他的名言「存在就是被感知」是唯心哲学的理论基础。1734 年，他写下了一本一百多页的小册子，名为《分析学家：致一位不信教的数学家的评论》。

他直接把「无穷小量」的问题拿出来，在书中拷问全部支持微积分学说的数学家，他咄咄逼人地问道：「它们既不是有限的量，也不是无穷小的量，更不是零。这难道不是『消逝的量的鬼魂』么？」在他看来，「那些大人物虽然把那个科学抬高到惊人的程度，实则只是建立了一套空中楼阁。」

好比考虑所谓的瞬时速度，如果一切物体运动的速度都应该使用位移除以时间取得，那么所谓瞬时，当然是时间为零，要去讨论时间为零的速度，似乎毫无意义。

贝克莱对微积分的拷问，并不是要否定微积分取得的成就，而是表明数学家们对他们的研究过程没有有效的论证。贝克莱引述已故牛顿的名言「最微小的错误在数学里都不应当被忽略」，来要求数学家们直视这一重大问题。

来自贝克莱的指责踏实有效，微积分基础上的逻辑漏洞掀起了混乱的风暴，在随后的一个世纪里，后世的数学家都致力于在此问题上进行加固补足。这一场数学危机，要到百年之后数学家柯西出手，最终不再把无穷小量看作一个无限小的定值，而是作为一个极限为 0 的变量；又有魏尔斯特拉斯引入现代的极限语言，双人联手，才终于解决了这一悖论。也正是在这个悖论的解决过程之中，微积分得到了长足发展。

2. 约翰·伯努利的安慰：死在所有敌人后面

不过，贝克莱悖论刚刚被提出之时，数学家们还远远达不到攻克这一难题的实力。旧时代的巨人轰然倒地，新时代的学者们还在孕育之中。

牛顿身后，留下了巨大的学术真空，他此前虽然有在剑桥大学任教的经验，却不擅长教授学生，他没能为英国培养出一代杰出的学者，他去世之后，英国便再不复数学中心的荣光。

牛顿的去世，是微积分草创时代的完结，也为约翰·伯努利翦除了最重量级的竞争对手。这一年，约翰·伯努利已是花甲之年，这位好斗暴躁的老人如今孤独寂寞，昔日的对手仇敌，都一个个离他而去。

最先离去的是他自己的学生洛必达侯爵，自从洛必达汇编了约翰的微积分成果用作书籍出版，约翰便一直耿耿于怀，认为学生完全应该明确表述这是约翰个人的成就。虽然公正看来，洛必达已经在书中特别向他致谢，洛必达定理也是学界的通俗叫法而不是洛必达执意冒名顶替，然而约翰依然和自己的学生走向决裂。

洛必达侯爵去世于 1704 年，那本引起两人争议的《用于了解曲线的无穷小分析》，在此后一直被用作高等数学的标准教材。约翰在此后自己的生命里，要一直看到这本署名洛必达的教材无数次出现在自己的眼前。

随之而去的是约翰·伯努利的哥哥雅各布·伯努利。

自从当年的悬链线争端爆发，约翰和哥哥的关系就每况愈下，他甚至略带神经质地亲笔写信指责自己的父亲，认为父亲更关心自己的哥哥，而忽视自己的感情。写信抱怨之时约翰已经年过而立，可在父亲面前争宠这件事上，还是幼稚得像个孩子。

当年他与哥哥雅各布·伯努利起源于悬链线和最速降线的争端还历历在目，不断被他回味重温。在最速降线一役里，虽然雅各布和约翰都给出了正确的答案，但解答方法却不尽相同。雅各布的解法更显笨拙，但给出的是一个通用解法；约翰的解法聪明巧妙，但适用面却相对狭窄，日后，也正是以雅各布的解法为基础，发展出了微积分的重要领域变分法。变分法作为处理函数变量的重要工具，用于处理函数数学领域，通过求取极值函数得到泛函数的极大值和极小值。变分法用来求取最速降线中滚落时间的最小值，无疑恰如其分。

变分法的使用也非常广泛，如同一个著名而历史悠久的数学问题曾发问：如果一个人拿着一条绳子，用来圈一块地，那么绳子围成什么形状，才能让围合的面积最大化？——同样，是涉及最大值求解的问题。

如今我们用直觉也能猜出：答案应该是一个圆形。可是，要想证明它却非常困难。正是雅各布的变分法解决了这个问题的精准证明，在日后，变分法在理论物理中将成为强力工具，在材料学中也会有广泛的应用，甚至，经济学家们也用来求解动态最优问题。在不久的后来，变分法将在约翰的学生欧拉，以及学术后辈拉格朗日手里得到极大的发扬，他们找到了变分法中的关键定理：欧拉-拉格朗日方程。

雅各布在变分法中的成就并没有引起弟弟的钦佩信服。在 1718 年的一封信件里，约翰还沉浸于当年一夜之间解出悬链线方程的光辉战果，还在和朋友的通信当中专程炫耀，他用沾沾自喜的口吻写下了「我哥哥的努力没有结果。而我却幸运得多」。时隔多年，约翰依然对那一日早上兄弟之间的对话印象深刻，并一五一十地记录在信件之中。他也专门指出，这并不是自己心胸太狭窄，而是如果是他的哥哥解决了这个问题，那么雅各布也一定会贬低自己，自己如此行事，只是对雅各布基本的回敬。

这封信函作为兄弟二人紧张关系的细小缩影，也是约翰对哥哥仇恨的最佳佐证，毕竟，提笔写下这封用语轻蔑的信函之时，雅各布·伯努利已经去世整整 13 年，再无法对弟弟的不屑做出任何回应。

雅各布·伯努利在 1705 年去世，比莱布尼茨和牛顿都要早，甚至还早于自己的父亲。伯努利家族的亲缘关系一向紧张，即使是在约翰眼里更为得宠的哥哥，也因为父亲强迫自己从事商业而耿耿于怀，他的座右铭 「我违父意，钻研群星」就是一个明显的注解。

他把一生都献给了自己挚爱的数学学术，即使在临终之时，还嘱咐后人要在自己的墓碑上镌刻一条对数螺线，彰显自己对数学的热爱。

对数螺线如今在通俗的叫法里被称作斐波那契螺旋或者黄金螺线，被广泛应用在摄影构图的指导中，今天打开社交网络上摄影大咖的构图讲堂，总是可以看到黄金螺线的身影。雅各布钟爱这条曲线，是因为它经过各种几何变换后依然保持自相似，雅各布·伯努利认为这正是对自己品格最好的描述，他为自己拟定的墓志铭是「纵然变化，依然故我」，也是对对数螺线性质的描述。

只是，为他雕刻墓碑的工匠学艺不精，错把对数螺线雕刻成了蚊香形状的阿基米德螺线，美感尽失，雅各布九泉之下若有所知，也当心怀遗憾。

雅各布去世后，约翰终于得以继承了雅各布在巴塞尔大学数学教授的席位，他终于得到了这觊觎已久的教职。

如今牛顿也已经长眠，约翰·伯努利终于成为这个时代最举足轻重的数学家。他连续当选巴黎、柏林、英国、彼得堡几大科学院的院士，又因微积分的应用，在力学、天体力学、流体力学连续摘取巴黎皇家科学院的年度大奖。以约翰·伯努利为中心，他与 110 位学者建立起联络，往来进行学术讨论的信件超过 2500 封，在数学领域里留下了自己不可磨灭的痕迹。

他依然热衷于与人争斗，不过牛顿之后，已经没人具备与伯努利正面对抗的实力。英国数学家、以「泰勒级数」留名数学史的泰勒曾和他互有龃龉，不过都远远不如当年牛顿给他的重击。

再后来，连泰勒也去世的时候，约翰·伯努利居于数学领域的御座，傲然评论：「我的对手们都死在我的前面，还都比我年轻，这是一种命运。在过去的 15 年中，他是他们中的第六个。」

这位倔强的老人把代表对手命运的珠子一颗一颗从生拨到死，心中充满欣慰。

3. 巨人离去，欧拉出场

约翰·伯努利对科学领域的贡献还远不止亲手巩固微积分领域，更在于他为欧洲数学界培养出后继之人。他算是一个合格的老师，自己三个儿子都成为杰出的数学家，而门下的学生里最为杰出的一位，是莱昂哈德·欧拉。

历史上最多产的全才的数学家欧拉。

莱昂哈德·欧拉 1707 年出生在瑞士巴塞尔的牧师家庭。他的父亲保罗·欧拉担任神职工作，少时求学于巴塞尔大学，授业于雅各布·伯努利，同约翰·伯努利早就是旧相识，二人还在雅各布的居所同住过一段时间。

欧拉十三岁进入父亲的母校就读，并在那里结识了已经任教的约翰·伯努利。约翰当时已年过半百，他很快发现了故人之子的数学天赋，悉心提点。约翰忙于教学，不能时时加以辅导，但依然挤出时间，把每个周日的下午留给欧拉，来指导欧拉在一周中遇到的学术难题。

欧拉本在父亲的安排下准备从事神学研究，然而在约翰·伯努利的指导下，对数学的兴趣与日俱增。随后约翰亲自出马对故人保罗·欧拉进行劝说，说服保罗同意儿子正式走上数学道路，承继自己以及莱布尼茨的衣钵。

当时巴黎皇家科学院为鼓励科学发展，每年都会举办学术竞赛，提出固定的问题，向学界征询答案并颁发大奖。约翰一生之中一共获奖三次，首次获奖是在 1724 年，那时他已是五十七岁的学界耆宿。而学生欧拉的天分就更见不凡，在老师首次获奖后三年，欧拉便在巴黎科学院的征文中以第二名拿到奖项，时年仅仅二十岁。

那一年的征文大奖题目是讨论船上桅杆的最优放置方法，得主是二十九岁的法国数学家皮埃尔·布格。布格出身水文测量世家，少年英才，十六岁便已经成为水文学教授，以「造船工程之父」之名传世，在桅杆设计方面取得优胜完全是意料之中。欧拉以二十岁之龄拿到仅次于水文学教授的名次，已经彰显出欧拉超凡的数学天分。

年轻的欧拉并不会介意这次小小的竞争失利，毕竟他此生中还将十二次夺得该奖项的最高荣誉，而且比之于水文专家布格，欧拉在桅杆设计上确实有着天然弱势——他生于内陆国家瑞士，没有航海经验，论文只能从纯学术方面入手，提交论文时甚至都没有见过船。

1727 年的那次巴黎科学院的入围奖项，成为欧拉崭露头角的开始。

同年四月，欧拉申请就任母校巴塞尔大学物理教授一职未果，他选择了接受来自彼得堡科学院的邀请。他随后启程离开故乡，乘船沿莱茵河而下，在四轮马车里颠簸地穿过德意志诸国，最后又通过海路历时一个月抵达圣彼得堡。

4. 流体力学之父：赢得了全世界，却唯独不能赢得自己父亲的尊重

彼得堡科学院的建成还要回溯至欧拉的师公莱布尼茨。莱布尼茨在与彼得大帝的会面中，劝说沙皇在彼得堡建设俄国专属的科学院。科学院建成于 1724 年，一年后彼得大帝即告驾崩，王后叶卡捷琳娜登基继位，史称叶卡捷琳娜一世。这位巾帼之君继承了丈夫的遗愿，来自彼得堡科学院的聘书雪片般飞到欧洲的各大学术中心，聘请知名的科学家前往俄国就职。伯努利一脉中最先就任的是欧拉的师兄、约翰·伯努利的两个儿子尼古拉·伯努利与丹尼尔·伯努利，两人均是伯努利世家下一代的佼佼者。

当年约翰·伯努利和哥哥雅各布相继反抗父亲的命令，拒绝从事商业而投身数学，并以此为傲。如今约翰衰老下去，成长为当年的自己最讨厌的模样：他像当年自己的父亲一样，强迫儿子经商，不要继承自己的衣钵成为数学家。然而儿子依旧抗拒父命，踏上数学研究的路途。如同当年父亲约翰师从伯父雅各布，学习数学技巧，如今，约翰的儿子丹尼尔也跟从哥哥尼古拉学习数学。双方的数学天赋得到了完整的开发，被聘任前往俄国研究数学之时，尼古拉三十岁、丹尼尔只有二十五岁。

伯努利家族终于迎来了第二代杰出传人的到来。尼古拉·伯努利没有囿于父亲与伯父之间的成见，他跟从伯父雅各布·伯努利的脚步，大力发展概率论。他修订了伯父留下的书稿，出版了新版的《猜度术》，还为伯父留下的五篇微积分级数方面的论文进行修订，准备作为《猜度术》的附录出版。唯其不幸的是，他仅仅前往俄国工作八个月便因为发热，逝世在三十一岁的壮年。他空出的席位后来由欧拉继承。

弟弟丹尼尔·伯努利十三岁入读巴塞尔大学，十六岁就拿到了硕士学位，与数学家哥德巴赫还有过通信往来。他追随者哥哥的脚步，共同前往圣彼得堡，开展研究。

哥哥尼古拉去世后，丹尼尔遭到了巨大的打击。他一度动起了离开俄国的念头，写信给父亲约翰，也提到自己在圣彼得堡的黯淡时光。虽然父子的关系并不融洽，父亲却依然举荐了欧拉前往圣彼得堡工作，最终，在伯努利父子的帮助下，欧拉前往圣彼得堡，正式开启了自己的学术生涯。

与欧拉在一起的日子，是丹尼尔最高产的一段日子。他在俄国任职的八年中，是欧拉忠实的朋友、伙伴以及竞争对手，与欧拉切磋钻研，共同提高。他在概率论、偏微分方程、物理学和流体动力学方面都做出了自己的贡献。如今，我们的中学课本里还会提到「流体流速越快，则流体压力越小」的基础观点，这在流体力学中被称作「伯努利定理」。在微积分的帮助下，丹尼尔得以把液体的流动简化为积分方程，从而得出了这一流体力学的基本原理。

如果他能在圣彼得堡多与欧拉工作一段时间，无疑将取得更大的成就，只是俄国的政局急转直下，政局的巨震也影响到了学界的发展——当年热情盛邀各国学者来俄的女主人卡德琳娜在位两年便驾崩，由彼得大帝尚未成年的孙辈彼得二世执掌俄国政权，彼得二世的统治也不长久，仅仅两年便夭折。随后即位的是彼得大帝的侄女安娜一世。

安娜一世作风独裁、生活奢靡，对科学漠不关心，在她的高压统治下，成批的学者离开了圣彼得堡，自谋出路。1733 年，丹尼尔·伯努利也无法忍受圣彼得堡紧张的政治氛围，正式向欧拉辞行，在次年回归故国。此后的时间里，二人一直保持着密切的通信。归国后丹尼尔正式出版了自己的流体力学著作，其中得到了来自欧拉的大量帮助。欧拉利用自己在微积分方面的技巧，以卓绝的洞见协助丹尼尔为流体现象建立数学模型，做出了极大的贡献。

丹尼尔在辞行次年的 1734 年赢取了巴黎科学院的年度大奖，奖项颁给了他在天文学领域的成就。然而，这项奖励不但没有为丹尼尔带来快乐，反而成为他的枷锁，更成为整个数学界的莫大损失。

仅仅是因为，当年另一位联合获奖人也提交了一篇相同领域的论文，与他平分该年科学院大奖。这位联合获奖者，正是他的父亲：约翰·伯努利。

约翰·伯努利当年在与雅各布的学术争端中，便不容雅各布压自己一头，如今看到自己儿子将要挑战自己的数学第一人宝座，更加怒不可遏。他认为这次平分大奖，正是儿子对自己一次示威。二者原本就不甚牢固的父子情谊在此彻底崩裂，丹尼尔从俄国返回巴塞尔后回家探看，却发现房门紧锁。这对父子被一扇房门隔绝，父亲拒绝儿子踏入门内。

父子反目之后，温和的丹尼尔依然心怀对父亲的尊重，在他出版的《流体力学》一书的卷首页中，他用文人委婉的方式向父亲示好，印刷上了「丹尼尔·伯努利，约翰之子」的字样，希望与父亲重归旧好，然而他没有获得任何回应。更加过分的是，约翰在后来出版了一本著作《水力学》，其中大量抄袭了丹尼尔的作品，他还专门把自己作品的出版年份从真实的 1739 年向前印刷成 1732 年，比丹尼尔的《流体力学》要早，以暗示是儿子抄袭了自己的作品。

心灰意冷的丹尼尔就此远离了数学研究，数学学科从此损失了一位大师。不过，丹尼尔的天资并不会浪费，此后他又有九次获得了巴黎科学院的大奖，涵盖了潮汐、海流、时间度量等方方面面的领域。他以微积分为利器，将数学思想融入物理学，在流体问题、物体振动和摆动问题中都留下了自己的成果。他被后世称作流体力学之父，连流体力学这门学科的名称，都源自他的文章标题。

丹尼尔至此声名鹊起，关于他曾留下过一段难辨真假的记录：一次丹尼尔在旅途中与陌生人相谈甚欢，他自我介绍说自己便是丹尼尔·伯努利，而陌生人却毫不相信自己见到了这位名声远扬的学者，不屑地抬杠道：「那我还是艾萨克·牛顿呐。」

丹尼尔·伯努利后来成为柏林、巴黎、英国等各大科学院的会员，赢得了整个欧洲的尊重，却唯独不能赢得自己的父亲。

5. 上帝收回了一只眼睛

1733 年，丹尼尔离开俄国后，圣彼得堡的数学重任，完全落在了年仅二十六岁的欧拉的肩上。令人庆幸的是，此时的欧拉已经迅速崛起，完全可以填补尼古拉和丹尼尔这对伯努利兄弟留下的空白。

其间欧拉解决的最著名数学难题，是十八世纪著名的古典数学问题之一：七桥问题。

在德国哥尼斯堡，普勒格尔河穿城而过，其间形成了环绕河心岛屿而成的环岛水系及辐射开去的三条支流，岛屿与河岸以七座桥连接，七桥问题问的是，如何找到一条路线，走完所有的桥且每座桥仅经过一次。

许多数学家及爱好者多加尝试，对看似简单的七桥问题均束手无策，甚至有人想通过穷举全部路线一一排除进行暴力破解，但也未能予以解答。欧拉在 1735 年拿到问题，几天后便提出该问题无解，他把七桥问题简化为一笔画问题，并提出了判断一个图形是否可以一笔画出的判断通则。后来，这类图形的一笔画路线，就被称作欧拉路线。

这项在拓扑学中非常重要，开创了离散数学「图论」分支的论文《哥尼斯堡的七桥问题》拖了整整一年才正式发表，那时欧拉的工作日益繁重，为了完善定时系统，欧拉投入到繁琐的太阳观测之中，视力开始急剧衰退，很快右眼就完全失明。

伤残没能击垮欧拉，1738 年与 1740 年，欧拉两度获得巴黎科学院大奖，其中 1740 年的奖项还是同挚友丹尼尔·伯努利分享。只是俄国的学术环境不断恶化，女沙皇的宠臣甚至宣称天国的隐秘不容凡人窥探，也正因此，上帝收回了欧拉的一只眼睛，以示警告。

6. 致一位德国公主的信

欧拉终于厌倦了圣彼得堡的恶劣环境，1741 年，他接受了来自普鲁士的邀请。欧拉前往柏林，成为新落成柏林科学院的肱骨重臣。

柏林科学院的前身柏林-勃兰登堡学会于 1700 年筹建，欧拉的师公莱布尼茨正是学会的倡导人及首任主席。学会建成以来一直处于英法两大科学院的阴影中，没能取得太多的学术成就。直到 1740 年，欧洲的天平开始向东侧的普鲁士缓缓倾斜。

1740 年，正是腓特烈二世继承普鲁士王位的一年。这位年仅二十八岁的新君后来以腓特烈大帝之名传世，一手将普鲁士缔造成欧洲一流强国，以不世出的军事天赋引领普鲁士迅速崛起。他也醉心于艺术，身后留下四部交响曲与一百多首长笛奏鸣曲。他甫一登基便着手完善柏林科学院，夯实德国的科学基础。心怀为普鲁士网罗最优秀人才的理想，腓特烈大帝向欧洲多名大师发出邀请，其中就包括一年后入职的欧拉，以及后来在 1746 年成为学院院长的皮埃尔·莫佩尔蒂。

皮埃尔·莫佩尔蒂同样师承约翰·伯努利，算是欧拉的师弟，年龄却要长过欧拉九岁。他不像欧拉及伯努利世家的其他学者一样早慧，却靠着勤勉和兴趣进行自己的研究。在而立之年，他成为英法两大皇家学院的院士，后来又前往巴塞尔大学深造，曾直接住在约翰·伯努利的家中接受指导。他曾为了测量地球的形状，与摄氏温标的发明人摄尔修斯前往北欧，进行了艰苦卓绝的观测，进而验证了牛顿理论对地球形状预言的正确性。在当时旧交伏尔泰的举荐下，莫佩尔蒂在 1740 年与柏林取得接洽，成为腓特烈大帝心中最合适的院长候选人。

如同当年巴黎科学院建设伊始，法国太阳王路易十四以高薪礼聘，邀约光学宗师惠更斯、天文观测泰斗卡西尼前来巴黎，以二者为核心，建立起巴黎科学院的扎实基础。如今，腓特烈大帝治下，以莫佩尔蒂和欧拉双核心为引擎，也发动起日耳曼人在科学领域的隆隆战车。

在莫佩尔蒂担任柏林科学院院长之时，欧拉出任了数学主任一职，又在后来接管学院天文台。腓特烈大帝对他礼遇有加，亲切地称呼他为「我的教授」。

当莫佩尔蒂外出柏林，欧拉便承担起代理院长的职责。他承担起了从天文观测到植物园运营的大量工作，甚至连人事与财务工作也进行过问，此外，国王也不断委以公务，他接手了从运河规划到宫殿建设的大量工作。

欧拉在柏林兢兢业业二十五年，写下了大约 380 篇论文。他继承老师的研究，在变分法下继续推进；也放眼天空，研究星球的运转；为了配合腓特烈大帝的军事行动，他也要涉足火炮及弹道学；同时为了满足航海时代的需求，他更开始研究船舶制造及航海；甚至，他还抽空辅导腓特烈的侄女安哈尔特·德索公主，通过书信为其讲授力学、物理、天文等课程，这些珍贵的信件后来被汇集出版成为《致一位德国公主的信》，翻译为七种文字传播，是文从字顺的科普作品。

他的两部重要著作《无穷小分析引论》《微积分概论》都写就于这一时期，其中的《无穷小分析引论》被看作数学七大名著之一，与后来高斯的《算数研究》齐名，欧拉也正是在这部书里，广泛地讨论了各种函数的变换、分解、展开、在积分学当中的应用；以及用代数基础而非通行的微积分基础解决分析各种高阶曲线，欧拉从此被称作「分析的化身」。

三、继承者们

1. 历时 26 年，汇聚 160 余人制作的《百科全书》

正在欧拉与莫佩尔蒂苦心经营柏林科学院之时，不远之外的巴黎，一批法国学者启动了启蒙运动之中最为伟大的工作。这项工作几乎是在无意之间播种萌芽，却在王权板结的土壤上滋生出革命的孔隙，最终撕扯开整个大地。

1746 年，莫佩尔蒂刚刚执掌柏林科学院的同年，德尼·狄德罗开始编纂《百科全书》。

那一年，狄德罗尚名不见经传，只是普通的法国翻译家。几个出版商在巴黎会见了狄德罗，并希望他将英国人钱伯斯在十几年前编撰的《钱伯斯百科全书》翻译成法文。这套百科全书厚达五卷，是当时最全面完备的百科全书。出版商提供了对于狄德罗来说尚算可观的报酬，狄德罗正受困于拮据的财务状况，欣然领受。

不过，雄心勃勃的狄德罗不满足于仅仅简单翻译英国人十五年前的老书，怀揣着热情和理想，他说服了出版商们，要编订一部新的百科全书，那将是有史以来规模最为宏大的著作，将包含现存所有知识的方方面面。

后来，这部著作被定名为《一个文人学者团体编纂的百科全书，或科学、艺术、手工业详解词典》。狄德罗以超凡的投入和努力，集结起难以想象的社会资源。他最独具慧眼之处，是请到了一位同样优秀的主编，法国数学家、哲学家让·勒朗·达朗贝尔。

达朗贝尔比狄德罗年轻四岁，是出身低微的私生子，甫一出生便因为生母担心影响自身名誉，横遭遗弃。他被发现时正躺在让·勒朗教堂的石阶上，于是以让·勒朗之名受洗，后来亲生父亲找到了他，也只是把他寄养给一个玻璃匠。他的生母在他后来崭露头角之时，曾经找到他，想与他相认，最后得到的仅仅是一句冷淡的回复：「你只是我的继母。」他拒绝跟从父姓，自己取姓为达朗贝尔，并把养母视作自己的母亲，与她一起生活到中年。

达朗贝尔在教会学校里尝试过攻读神学与医学，都不够喜爱，最终打下坚实的数学与物理学基础。在狄德罗上门相邀时，达朗贝尔已经在科学界小有所成。他的达朗贝尔判别法是标准的判断级数绝对收敛的方法，一直到现在还在使用，以比值判别法为名被写入高数课本。

这个没有受过正规大学教育，完全靠自学攻读牛顿及其他学者著作的年轻人，二十二岁即完成了自己的首篇学术论文，随后两年之间又连续向法国科学院提交五篇报告，研究微分方程的积分方法，以及物体在介质之间的阻尼运动。他二十四岁即被提升为数学副院士。他的学术著作《气流》将实验物理归结到数学领域中，还获得了莫佩尔蒂的柏林科学院的授奖。

达朗贝尔加入编书团队之时，还在尝试以微积分理论解释物理学上的振动现象。他在对振动琴弦的研究中，将弦看作是由无数个无穷小质点构成的一条线段，它的振动自然可以使用偏微分方程予以建构。如今，这样的方程被称作波动方程，这构成了后来声学、电磁学、流体力学甚至电信业的重要基础。

达朗贝尔身材矮小，不修边幅，以诙谐的个性广受大家欢迎。他迅速地投入到自己的角色中去，在《百科全书》的编制中，他主要负责数学与自然科学相关条目。在他负责的微积分相关条目里，他将自己与欧拉等一众知名学者的最新成就写进了《百科全书》。

按照狄德罗最初的设想，巴黎科学院要包揽自然科学、医学、解剖学等重点内容；法兰西学士院可以为百科全书提供语言部分的条目；铭刻及美术学院则要承担起历史地理和文学部分；索邦神学院负责神学、宗教领域；巴黎大学将在人文科学、哲学和法学方面进行补充。

这是一个几乎不可能完成的工程，可在狄德罗与达朗贝尔的努力下，他们动用了四分之一个世纪，把它变成了现实。

一批杰出的人才加入到丛书的编订之中——刚刚从英国旅归的伏尔泰，与时任法院院长、正一心写作《论法的精神》的孟德斯鸠，共同负担起文艺批评和历史方面的条目的编订；博物学家、生物学家布丰，以其后来在《自然史》一书中娓娓道来的生动笔触，负担起大量生物学词条的编写；狄德罗的挚友卢梭，以音乐家自居，参与到音乐条目的编写中去；丛书副主编达朗贝尔，负责起数学与自然科学相关条目。

至于主编狄德罗，这个出身低微的制刀匠的儿子，承担起枯燥吃力而不讨好的手工业栏目，从农业到农村经济，到针织业、服装业，他的条目覆盖了土地丈量、面包烘焙、制胶封漆等诸多领域，他跑遍了工厂和车间，阅读了上千本手工业册子，最后整整贡献了五千余主题。

这些围绕着百科全书编撰工作中聚拢而来的启蒙思想家们，一共有 160 余人。他们有着不同的政见、迥异的哲学观和相异的宗教信仰，他们是文学家、医生、工程师、音乐人、旅行者、航海家和军事家，这些杰出人物几乎分布在每一个知识领域。尽管他们的政治与哲学观点都不尽相同，却都有着解放思想、强调人性光辉的共同诉求，他们因此被称作百科全书派，是启蒙运动中最为重要的学者团体。他们也因此被打压、被迫害，在丛书编订的过程中，两度遭到当局勒令中断。他们有的被关进监狱，有的被迫流亡国外，甚至连副主编达朗贝尔也心怀恐惧，在入伙十三年后的 1759 年退出工作。

这一批群星般映照着启蒙时代的学者，在二十六年中几经曲折完成了丛书的编订，从 1751 年第一批七部大部头问世，再到 1772 年全书编成，一共二十八部，囊括了 71818 个条目以及 3129 幅插图。

在丛书的编制中，作为编书官方语言的法语也得到了不断的充实和完善，最终法语的精确程度也大大提升，得以取代拉丁语成为国际通行的学术语言。

在二十六年前，几个出版商当然不会意识到自己按下的是怎样一个按钮，这场文人学者集结而来的气势磅礴的合唱，唱起了美利坚和法兰西两国革命的先声。这是历史上的第一次，一部学术书籍在政治领域中引发如此之大的影响，甚至在人类的文明史与抗争史上也占据了一席之地。

2. 求解三体问题

随着启蒙运动的逐渐深入，以及微积分体系的不断完善，牛顿的科学体系开始在欧洲确立自己的领导地位。百科全书副主编达朗贝尔编书之余，正忙于进一步验证牛顿学说。其中最复杂的问题之一是三体问题。

三体问题致力于在三个质点的质量和初始状态均已确定之时，在万有引力定律之下求出三者的运动规律，一个最简单的模型就是日地月的轨迹计算。

即使动用微积分武器，三体问题也依然难解。早在十八世纪初，牛顿和莱布尼茨正吵得不可开交之时，欧洲大陆的数学家便已经尝试采用微积分来重构牛顿的力学体系。而探究日、地、月三者关系的三体问题几乎是数学家们不可绕过的一大堡垒。

莱布尼茨曾经邀请数学家皮埃尔·瓦里尼翁解决三体问题，然而皮埃尔随即发现自己束手无策，如果假设其中一个物体不动，还勉强能得到简单的答案，可一旦三个物体都运动起来，他便无计可施。后来，数学家雅各布·赫尔曼以及约翰·伯努利联手跟进，从数学角度证明平方反比定律一定会导出圆锥曲线的轨道，补足了当年牛顿在《原理》中仅仅当作假设却未能严谨证明的缺憾，不过他二人也没能在此一结论之上更进一步。

这并不能怪诸位数学家学艺不精，在通常情况下，一般的三体问题的运动方程为十八阶方程，需要得到十八个积分才能进行完整解答。除了少数特殊情况以外，根本无法得出标准的答案，运用微分方程写出日地月三者相互吸引的等式不算困难，但解出三个等式却不可能，只能通过近似计算才能粗略得解。也正是以这数学上的难解谜题为背景，2006 年起，作家刘慈欣以三体星系为背景写出了中国科幻界扛鼎之作《三体》三部曲，以一人之力带领中国科幻文学进入了世界的第一梯队。

首先把微积分融入牛顿力学体系的大部头著作，正是出自欧拉笔下。1736 年，欧拉还在圣彼得堡供职之时，便出版了《力学》，以纯代数方法而非传统的几何学方法论述力与运动的关系。三年后，欧拉终于打破了微积分与牛顿定律的最后障壁，通过编制三角函数的微积分，求解常系数线性微分方程，用于解决天体之间引力的摄动问题。随后欧拉连续出手，先是攻克月球运动摄动问题，之后又靠着土星和木星之间的引力摄动摘取 1748 年的巴黎科学院征文大奖。这些在天体力学领域的进展，正是解决三体问题的关键锁钥。

在欧拉的奠基之上，又有两位数学家加入到三体问题的求解之中。一个是百科全书副主编达朗贝尔，另一位是当时名气稍逊的，在此前莫佩尔蒂北欧考察中随行的数学家亚历克西斯·克莱罗。三人采用各自的方法进行模拟，同时发现牛顿体系的预测值与观测值出现偏离。这是牛顿学说继地球形状之争之后遭遇的又一次危机，上一次靠着莫佩尔蒂的北欧考察安全过渡，这一次轮到莫佩尔蒂的助手克莱罗出手。他 1749 年发布论文，指出了自己、达朗贝尔和欧拉此前均存在计算失误，达朗贝尔当即坦承失误，欧拉则提名克莱罗获取圣彼得堡学院奖，牛顿定律地位再得巩固。

这只是克莱罗对达朗贝尔的第一次智商碾压，十年后，正是已故哈雷博士预测的彗星回归年，克莱罗综合万有引力定律和微积分方程计算，在巴黎科学院公众大会上公布了他预测的回归日期，宣称误差不会超过一个月，1759 年年初，彗星如期而至。牛顿定律历经莫佩尔蒂子午线测量、三体运动危机及哈雷彗星回归预测三役，一举制霸学界。三役中均有贡献的克莱罗，收获了新牛顿的称誉，达朗贝尔感到颜面扫地，私底下吐槽后者的方法并不算高明，无非也就是靠着「乏味冗长的计算」。

也正是从这一时期开始，微积分开始逐步接手天文学研究的阵地，此前从哥白尼到开普勒的历代天文学家们，还满足于观测并积累大量数据，然后根据观测经验总结星体轨道。而如今，有了微积分作为数学基础，由精密航海对精确星表和月球运行表格的需求，催生出全新的天体力学。从此，周天星体的轨道确认，逐渐从天文观测者的观测数据和经验推演，让位于天体力学家的数学计算。

3. 欧拉的继承者和「数独」游戏

天体力学的学科基础，正是从百年之前的牛顿起步，欧拉、达朗贝尔逐渐加固，随后又迎来两位杰出的年轻数学家：先是拉格朗日创始大行星运动理论，又由再之后的拉普拉斯集各家大成，以五卷十六册巨著《天体力学》，提出了天体力学的学科名称，也奠定了整个学科的基础。

这两位年轻人中的第一位，约瑟夫·路易斯·拉格朗日生于 1736 年，比欧拉足足年轻二十九岁，他崭露头角之时，也还只是十九岁的青年，那时他靠着自己在变分法领域的研究，已经获得了都灵皇家炮兵学院的教职。

拉格朗日生于意大利都灵的官员之家，当时由于父亲失败的投资，家中财政总是捉襟见肘。他单纯地以为自己可以靠着数学改变自己的经济状况，在后来的回忆中，他提到，如果他家中富有的话，就不会把自己奉献给数学事业。

他在数学领域的天分一发而不可收，在没有接受任何名家的辅导下，他靠着勤勉的自学成才，十八岁便开始发表论文，并开始了与欧拉的通信，迅速引起了柏林科学院院长莫佩尔蒂以及欧拉的注意。莫佩尔蒂与欧拉力邀拉格朗日前来柏林就职，希望为这位年轻后进提供远比都灵更有声望的职位。

年轻的拉格朗日心怀更大的野望，他婉转而礼貌地拒绝了莫佩尔蒂和欧拉的善意，只愿意以通讯院士的身份与学院保持联系，转身成为都灵皇家科学院的奠基人。在都灵科学院的学术期刊上，拉格朗日是最主要的供稿人。

面对拉格朗日的婉拒，莫佩尔蒂已经无暇叹惋，当时，莫佩尔蒂已经年近花甲，身体渐衰。他最终前往巴塞尔养病，就住在恩师约翰·伯努利的家中调养生息。

1759 年夏天，莫佩尔蒂病情加重，致信让妻子前来瑞士陪同。他没能等到与妻子的最后一面，柏林科学院院长至此陨落。

莫佩尔蒂的去世未能引起力邀他前来柏林的腓特烈大帝的关注，其时，蔓延了整个欧洲的七年战争从英法正式宣战开始，已经进行到第五年。腓特烈大帝与英国一道，以新兴国家之姿，力敌法俄奥三大强国。上年严冬，腓特烈大帝以主力与奥地利主将道恩元帅对峙，连战皆北，士兵在临时搭建的木屋里瑟瑟发抖。大雪漫天而下，覆盖了普鲁士人留下的数万具尸体。

经历了五年筋疲力尽的战争，这只普鲁士之狐正在默默舔舐伤口。腓特烈归国后忙于稳定货币、训练新军，预备与法军和奥军的决战。战争中对峙双方均伤痕累累，最终腓特烈以教科书式的战术布局反制成功。这场漫长的战争还要持续四年，英国和普鲁士一方才会取得最后的胜利。而惨胜之时，当年意气风发的普鲁士国王已年过半百，两鬓斑白，饱受疾病的折磨。此后他又活了二十三年，整理战争留下的焦土。

莫佩尔蒂之后，忙于军政的腓特烈大帝没有遴选一位新院长接替，欧拉成为柏林科学院实际上的领导者。如今的史料里，在欧拉服务柏林科学院的时间里，留下有三千份详细的文档，包括大量的报告、笔记和会议记录，几乎是逐日记录了欧拉二十五年里的每一项科研、行政、组织工作。他为了学院宵衣旰食，承担了远比往日繁重的工作，他为科学院遴选人才，也平衡学院的收入支出，甚至连日历的出版到地图的绘制都要过问。

仅靠一个单薄的欧拉自然撑不起整个学院，其他科学家也陆续受聘而来。首先入职的是欧拉的老师约翰·伯努利之孙，也以约翰·伯努利为名，称约翰·伯努利三世。这位出身数学世家的少年，入职时仅仅十九岁，他在腓特烈大帝的安排下，接过了此前由欧拉掌管的天文台。三十四年前，年仅十三岁的欧拉刚刚结识亲手将自己带入数学领域、改变了自己一生的老师约翰·伯努利，如今年近半百的欧拉望着雄心勃勃的少年英才，恍如昨日。

欧拉在柏林后期的工作不算开心，当年莫佩尔蒂曾经与伏尔泰陷入无聊的意气之争，欧拉站在莫佩尔蒂一方，导致与后来前往柏林宫廷任职的伏尔泰关系一直很僵。他讷于修辞辩论，常常被伏尔泰出言嘲讽。欧拉在腓特烈大帝这边也不讨喜，在腓特烈看来，这位数学家太过单纯谦和，充满一副呆板的理科生气息，私下里甚至用欧拉的眼疾开玩笑，叫他「数学独眼龙」。这位雄才大略的君主显然不懂得如何尊重顶级数学家的才华，竟然让欧拉协助修建自己私家花园的水槽。欧拉通过计算求出了将水提升至蓄水池里需要多大的力，可对修好水管却没有任何帮助。腓特烈用充满嘲讽的语气与伏尔泰通信吐槽「我的磨坊连几何学都用上了，结果连一口水都送不到我的水池里去」。

最令欧拉难以忍受的是百科全书派达朗贝尔到访，这个当年被遗弃在教堂石阶上的私生子如今已成长为巴黎科学院的一流数学家，当时二者之间因为一场学术优先权的争端已经颇不愉快，而达朗贝尔此番来访，却大摇大摆地成为腓特烈大帝的座上嘉宾。更令欧拉不满的是，达朗贝尔得到自己在柏林用了二十五年都难以取得的信任，他被邀请继承莫佩尔蒂身后从缺良久的院长席位。

欧拉私下写给拉格朗日的信件中表达了强烈的不满，抱怨达朗贝尔一再对自己的研究成果吹毛求疵，仅仅是因为「达朗贝尔自己没研究出来」，又指出「这种人要是当了院长，只会弄得一锅糟」。

在这一事件中欧拉略显紧张过度，达朗贝尔在宫中住了三个月便返归巴黎，不但没有抢走欧拉的位置，还劝说国王任命欧拉成为新任院长，也推荐了已经颇有小成的数学家拉格朗日，那时拉格朗日不久前已经因其在月球天平动问题的解答中获得法国科学院大奖，而达朗贝尔访问当年，法国科学院征文研究木星及四颗卫星与太阳的相互引力关系，面对这复杂度远超日地月三体运算的六体问题，拉格朗日以超凡的微积分技巧，对繁杂的问题以近似方式求解，再获大奖。

国王对欧拉继任院长一事按下不表，却对拉格朗日大加赞叹。他力邀拉格朗日来柏林工作，后来更说出了「欧洲最大的王的宫廷里，要有欧洲最大的数学家」，全然不顾欧拉的心理感受。

此时，拉格朗日则只是写下了一段礼貌而意味深长的回绝：「如果欧拉还在柏林，我前去工作似乎还不合适。」

事已至此，欧拉终于心灰意冷，他于 1766 年整理行装，接受了卡德琳娜二世女沙皇的邀请。五十九岁的老人再一次踏上了四十年前走过的那条熟悉的，前往圣彼得堡的路途，将自己的余生彻底奉献给了俄国。拉格朗日闻风立即从意大利赶来，在而立之年继承了欧拉的数学部主任席位。他迅速和同事打成一片，以新贵之姿走上了更为辉煌的学术道路。

在此后拉格朗日服务柏林的二十年里，他一个人就撑起了一个学院。他承接欧拉的分析学研究，同时进入了纯数学和应用数学的多个领域。他同样重视「代数化的分析方法」，认为纯代数的解法更加纯粹，且不必借助几何图形。如同欧拉在早年出版的著作《力学》中，大量采用纯数学进行力学分析而更少采用几何学作图法；拉格朗日则更进一步，在 1781 年——几乎是欧拉出版《力学》的半个世纪之后——拉格朗日出版了著名的《分析力学》，在这一本书里，拉格朗日没有采用哪怕是一张插图，一切力学作用都被他归拢在美妙的纯数学分析之下。他骄傲地宣布：「力学已经成为分析的一个分支。」

分析力学这门崭新的、融合了力学与数学的分支，也正是从拉格朗日开始。从此，数学分析开始与几何及力学脱离开来，数学分析，这项在分析学中最古老、最基本的分枝，由此根深叶茂。

拉格朗日谦和不争的个性也打动了腓特烈大帝，大帝为感谢达朗贝尔为自己推荐来拉格朗日这样的优秀人才，专门写下：「全靠你的费心和推荐，我得以在我的科学院里，用长着两个眼睛的数学家，代替了只有一个眼睛的数学家。」

此时的欧拉，在圣彼得堡受到了极大的礼遇。女沙皇为欧拉配备了豪华的住所和十几位侍从，任凭差遣。然而好景不长，欧拉刚刚回到彼得堡左眼便突发白内障，他靠着模糊暗淡的残存视力，抓紧最后的时光，在黑板上奋笔疾书，辅以口述，由学生予以笔录。他的儿子约翰·阿尔勃兰特·欧拉随他前往圣彼得堡，出任物理学院主席，后来又转任学院秘书，一直随侍父亲左右。留给欧拉的时间不多，很快他便失去了全部的视力。

双目失明后欧拉又遭重创，在圣彼得堡的一次大火中，欧拉的住所被毁，也险些毁掉了欧拉的生命。虽然老人被救出，大量的研究成果却在火中付之一炬。同样的经历牛顿也曾经历过，当大火烧掉了自己珍藏的手稿，牛顿曾一度陷入低沉。而欧拉反而越挫越勇，在黑暗的世界里，他在圣彼得堡写出了一生中近半数的论文著述，以强大的记忆和心算继续工作直至逝世。

经过了几十年的磨砺，欧拉在数学上的造诣已经收放自如，运用一心。失明后他靠着强大的记忆力与运算能力继续着高强度的研究，现在留下的史料里，流传着大量关于欧拉记忆力及心算能力难以置信的描述。他可以一字不差地背出五十年前孩提时代读过的诗人维吉尔的长诗《埃涅阿斯纪》全篇，也能轻松报出前一百个素数以及它们的平方、立方、四次方、五次方甚至六次方。传说一次运算中两位学生在无穷级数求和问题上算到第十七项，在小数点后第五十位数字产生争执，欧拉以心算将计算复盘，最后给出了正确答案。在研究到梅森素数之时，又以心算，得出 2 的 31 次方减 1 是个素数，在梅森素数领域里再添一笔。后来的法国物理学家阿拉戈评价，欧拉在计算时如同「人在呼吸」，或「鹰在翱翔」一样自然而出乎本能。如果十八世纪的数学界有一门宗教，欧拉无疑是数学家们的神佛。

欧拉后来的研究涉及数学以及其他学科的方方面面，其中一个有趣的数学问题是三十六军官问题（Thirty-six officers problem），欧拉设想在一个六人见方的三十六人阅兵方阵里，六支部队每支都派出六个军衔不同的军官，是否有一种排列，令每一行每一列都既没有军官来自同一部队，也没有重叠的军衔。

欧拉把满足这一特性的方阵称作正交拉丁方阵，他没能解出这一题目，他曾想与丹尼尔·伯努利交流此一问题，却传来了故人去世的消息。他只留下一个猜想，猜测三十六军官问题无解，而这猜想要到 1901 年才由法国数学家泰利证明无误。

这道题目后来开启了组合数学分支的一系列研究，最接地气的一个成果是欧拉在此基础上发明了数学游戏「拉丁方块」，经过演化成为今日风靡于学生与上班族之间的游戏「数独」。

4. 成为拿破仑老师的农家少年

在柏林科学院得到拉格朗日这一杰出数学家之时，巴黎科学院一方也不是一无所获。欧拉回到圣彼得堡两年后的 1668 年，在欧拉学术对手达朗贝尔的书房里，一个十九岁的少年手持介绍信受到了接待。

皮埃尔·西蒙·拉普拉斯的少年生活如今已不可考，这个后来位列侯爵之位的大师即使在成名之后，也对自己的农民出身深感自卑，一直对年少时在诺曼底乡下的经历避讳不谈。仅有的史料显示他少时即已初现天赋，十六岁进入卡昂大学攻读神学。

两年的大学生涯发掘出了他的数学天赋，为了进一步深造，拉普拉斯放弃了神学学位，手持母校数学系教授的介绍信，踏入世界的学术中心巴黎，拜会已经年过半百的达朗贝尔。

这是那个农家子弟抓住的最重要的一次翻身机会，关于这次会见历史上留下多个版本的描述，不过不可否认的是达朗贝尔的态度很不友善。他不相信一个出身乡野的少年能对数学有什么理解，于是他扔给拉普拉斯一本厚厚的数学书，要他看完再来找他。拉普拉斯几天后就读完再度来访，虽然不相信这个少年可以在这么短的时间内理解这本书籍，但通过询问交流，达朗贝尔终于被拉普拉斯打动。

另一个版本的故事则说达朗贝尔扔给拉普拉斯一道数学难题，要他下周给出答案，结果拉普拉斯一个通宵就把难题搞定，达朗贝尔当场又给出一道题目，拉普拉斯当场解出。

无论真相怎样，达朗贝尔都终于意识到了拉普拉斯的数学才华，从那时起，他一直把这个少年视作自己的门徒。他不仅直接指导拉普拉斯的数学研究，还试着帮爱徒安排工作。在他的引荐下，拉普拉斯得以出任巴黎军事学院数学教授，任教数学和静力学等课程。从那时起，拉普拉斯开始了不懈的研究，学术成果在一篇篇论文里不尽地喷涌出来。

他在随后的三年内完成了十三篇论文，从数学到天文学都有广泛涉猎，他在达朗贝尔的指导下，学术水平取得了极大的提升。1773 年，他的论文得到了巴黎皇家科学院的常务秘书孔多塞侯爵的高度评价。这一年的三月，二十四岁的拉普拉斯得偿夙愿，成为学院一员，以最快的速度步入了一流科学家的行列，很快便跟随上了欧拉、拉格朗日等大师的步调，甚至在天体力学领域，还能对欧拉和拉格朗日的成果进行修改。

他飞快地从前辈的经验中汲取着营养，心急时甚至开始「借鉴」剽窃他人的著作。在他进入科学院后，拉格朗日曾给巴黎科学院寄送论文，他将两大巨行星的轨道变化简化为一系列微分方程，证明了木星和土星轨道的变化是振荡式的，而且有界。拉普拉斯拿到论文，立即触类旁通，于次年发表论文，谈远日点和轨道偏分率的计算，其中的计算方法正是取自拉格朗日。

拉普拉斯也精心积累着自己在巴黎的人际关系。十八世纪晚期，正是化学革命进行得如火如荼之时，氧气命名人、头像被印刷在我们中学化学课本上的拉瓦锡当时便居住在巴黎。拉瓦锡当时身居要职，家中的沙龙聚会上，权贵名流时时到访，其中就包括拉普拉斯。拉普拉斯用仪器设计方面的天赋，帮助拉瓦锡设计多款化学仪器，在化学革命当中也留下了自己的痕迹。

当时，拉格朗日也完成了自己在柏林科学院二十五年的供职，在腓特烈大帝去世之后西来巴黎，加入巴黎皇家学院，在拉瓦锡家庭寓所之中的沙龙聚会上，拉普拉斯与拉格朗日也偶有会面。只是拉格朗日长年的工作让他患上了神经衰弱，在拉瓦锡的聚会上，拉格朗日总是带着淡淡的疏离凝望窗外，只给宾客留下怅然的背影。

悲观的拉格朗日曾疲惫地致信达朗贝尔，他感到数学似乎已经达到了极限。研究已经停滞在牛顿和莱布尼茨留下的微积分领域太久，人们在地表竭尽所能地开采，对地面深处的矿脉却难以为继。百科全书派领袖狄德罗也猜测，数学家们的创造终将流芳千古，但已经再难有新的进展，也很难产生实际的用途。所幸，拉格朗日后来一直活到高斯登上舞台的时代，看着那个被誉为「数学王子」的年轻天才以无与伦比的才华，打消了自己的隐忧。

至于一手挖掘提携了拉格朗日的欧拉，当时已经作古。晚年的欧拉，已经成为镇守整个彼得堡科学院的大家长和精神领袖。在他身边工作过的助手学生都迅速成长为俄国的中坚数学家，欧拉每日与其他学者探讨研究的基本方向，其他学者们就在他指引的路途上进一步运算发扬。

1783 年，拉格朗日赴法四年之前。天文学界不久前正爆出了新的发现，英国天文学家威廉·赫歇尔发现了天王星，大批数学家随即投入到天王星轨道的运算中去，远在圣彼得堡的欧拉也提起了兴趣。

当年 9 月 18 日上午，欧拉在与家人用膳之后，迎来了两位助手到访，三人兴致有加地探讨起天王星轨道计算的要领。谈话间，欧拉的烟斗蓦然从手中落地，他想弯腰去拾，突然感到脑中一阵疼痛。

「我要死了。」他喃喃低语。

这是一代数学宗师最后的遗言。

莱昂纳德·欧拉去世于当日的子夜，享年七十有六。他的遗体没能送归故里，他安眠在奉献出大部分生命的圣彼得堡。

莱昂纳德·欧拉被后人与之前的阿基米德、牛顿，以及之后的数学王子高斯并列为最伟大的四位数学大师。与其他三位大师鲜明的个性不同，他没有阿基米德「撬起地球」的豪言壮语，不像牛顿那样孤高冷峻，更不像高斯年少成名，欧拉勤恳谦逊，温和仁慈。他虔信上帝，在彼得堡直斥狄德罗的无神观点；他热爱家庭，在去世前的那日上午还为孙女上了数学课。他没有留下为人交口传诵的轶事传奇，一生波澜不惊，却在平静安宁之中孜孜以求。他几乎在数学的每一个分支都留下了他创立的重要定理，而最重要的成就，则是致力于将数学分析方法独立出来，强调要用分析方法而不是几何方法来证明微积分定理。他在物理学、天文学领域也留下卷帙浩繁的资料，彼得堡学院在欧拉去世后启动了《欧拉全集》的编修整理工作，汇编了他一生中的 885 卷著作及大量书籍，足足用了 47 年才出版完毕。

巴黎科学院常务秘书孔多塞留下一句深情缅怀：「他中止了计算和生命。」这句话几乎被后来的每一部欧拉传记作者引用。拉普拉斯也留下评价：「读读欧拉，他是我们每一个人的老师。」

欧拉逝世后仅仅一个月，拉普拉斯的恩师达朗贝尔也在巴黎病逝。达朗贝尔生前不信仰宗教，巴黎市政府也拒绝为其举办葬礼，他被简单地下葬，长眠在巴黎市郊的墓地里。

这距离莱布尼茨发表第一篇微积分论文一百周年仅差一年，这是上一代数学家的陨落，当年新生力量得以走到台前，而所谓的「新生」力量，如今也已不再年轻。拉普拉斯已经年过而立，拉格朗日也已经年近半百。

达朗贝尔为巴黎科学院挖掘的得意弟子拉普拉斯，如今已成长为巴黎科学院的柱石，他精力充沛地对所有他看得到的议题发表议论。先是在天体物理学领域发表拉普拉斯方程，将微积分利用到分析天体引力分量之上。随后积极配合拉瓦锡设计完善各项科学仪器，他刚刚完成的项目是以量热计证明呼吸作用是一种缓慢燃烧过程，为打破燃素说贡献心力。

拉普拉斯也没有放弃在巴黎军事学院的教职，1784 年，学院迎来了一批新生，拉普拉斯参与主持了入学考试。当年入学的炮兵学员里，有一位来自科西嘉，口音可笑性格倔强的矮个子少年。

这一年，拉普拉斯成为拿破仑·波拿巴的老师。

当年达朗贝尔给拉普拉斯安排在巴黎军事学院数学教授的教职，无意之间为拉普拉斯积累了雄厚的政治资本。

5. 暴乱中的科学家，如何自处

随着拉格朗日的加入，巴黎科学院聚拢起这个时代最杰出的学者，启蒙时代中靠着黄金一代科学家、哲学家的风云际会，法兰西原本已经夺取了整个文明世界的学术中心地位。然而，时局瞬息万变，政治局势急转直下，历经启蒙时代对民智的开启，法国大革命的洪流汹汹向前。终于，在 1789 年 7 月 4 日，巴黎市民攻陷了巴士底狱。

时局日渐收紧，法国国王路易十六一家遭到审判，被处死在断头台上。革命首领罗伯茨比尔设立起革命法庭，正式开始了法国的恐怖统治。在这段血腥的日子里，有四万法国人死在断头台或监狱当中。断头机以每分钟砍掉一颗头颅的速率高效运作，特制的船只满载着政治犯开到河心，在机械的操作下撤去船底，将犯人投入水中溺毙。

学界陷入一片人心惶惶，多位朋友曾经劝说拉格朗日离开巴黎，返回柏林。然而，拉格朗日却决心留下来，亲身经历这场启蒙时代以来最为宏大的思想实验。他们都远远低估了恐怖统治的血腥程度，在拉格朗日目睹了一场又一场暴行之后，深深震怖，甚至时刻提醒自己「这是你自找的」。

危局之下，法国的学者们还在为统一度量衡而努力。拉格朗日、拉普拉斯、拉瓦锡、孔多塞等一流学者聚集起来，摒弃繁复的英制系统，试图建立一套以十进制为基础的公制单位。

委员会先取地球子午线长度的四千万分之一为长度基准单位，在拉普拉斯的建议下被称为 1「米」，在此基础上面积单位平方米与体积单位立方米也随后确定。委员会此后又测量出 1 立方分米纯水的质量，定为 1 千克，作为质量单位的基准。

今天，这套度量衡系统已经得到了绝大部分国家的采用。在东方，1928 年，经过蔡元培、钮永建、孔祥熙等人的审查商讨，拟定《中华民国权度标准方案》，规定这套源自法国大革命的所谓「万国公制」，成为中国权度的准绳。

这些科学家没有来得及完成委员会构想的全部工作。

1793 年，恐怖统治的阴影笼罩了学界，巴黎皇家科学院被看作是旧有王室的势力残余，横遭解散。这个始建于 1666 年太阳王时代，凝聚了惠更斯、卡西尼、伯努利、狄德罗、达朗贝尔、拉普拉斯、拉格朗日、拉瓦锡、孔多塞历代学者心血的学术殿堂轰然崩塌，倒在了建院的第 127 个年头。许多科学院院士均受到政治牵连，惨遭处死，其中就包括学院秘书孔多塞以及化学家拉瓦锡。

直到 1799 年，当年通过拉普拉斯入校考课的科西嘉少年拿破仑终于羽翼丰满，他在那一年发动雾月政变，成为法兰西的新主。日后拿破仑成立国家科学与艺术学院，革命中被驱散的科学家们得以回归到学院之下的科学学部当中。二十年后，波旁王朝卷土重来，复辟的路易十八恢复旧制，将学院改组为法兰西科学院，直至今日再没断绝。

法国科学院的重建重新聚拢起硕果仅存的人才，拉普拉斯和拉格朗日本非贵族出身，在大革命期间卖力地帮助革命军制造枪炮弹药，得以平稳躲过断头的风险。拉普拉斯在革命时还带着些许不情愿却又干劲十足地加入到共和历法的制定中去，把 1793 年作为共和国元年，热月、雾月、霜月的命名也是出于委员会之手。政权更迭之下，拉普拉斯总是屹立不倒，屡获荣升。1795 年共和国重组度量衡委员会和巴黎天文台，改为法国经度局，他成为领导成员。同年科学院复建，他就任副院长，又在次年升为院长。他昔日的弟子拿破仑通过雾月政变上台后，还提名他短暂地担任了一段内政部长，处理法国的各项国内事务。

在此后历史学家的记录里，拉普拉斯的风评不能算好，他被看作见风使舵的政治投机客。即使是拿破仑本人，也曾经亲口用微积分术语揶揄他「把无穷小的精神带到了内阁里」。可也正是这位圆滑的政客利用自己的高位，一手改进了法国的高等教育。他组织改建了高等师范学校和巴黎综合工科学校，并与拉格朗日共同投入到教学工作中，还聘请了一批一流教授。

拉瓦锡的旧友，射影几何的发现者蒙日，革命期间曾避祸逃出巴黎，如今被邀请归来，在两所高校讲授射影几何，拉格朗日也坐在台下的听众之中。高等师范学校的首批学员之一，日后在热传导领域颇有小成的地方教师傅里叶，刚刚毕业便前往综合工科学校担任助教。日后蒙日与傅里叶随拿破仑远征埃及，一直作为随军学者服务军旅。

这一批聚集而来的名师，培养出了十九世纪上半叶照亮了法兰西的群星：这批学子中走出了安培(Ampère)，他的名字被用作计量电流的单位；有卡诺，他日后成为热力学创始人之一；有菲涅耳，他在光学研究中带领波动说重整旗鼓与牛顿粒子说展开对抗；还有泊松，他在数学及物理领域都留下自己冠名的定理，即使是对科学不太了解的人，也往往会听说过泊松的黑历史「泊松亮斑」；拉普拉斯和拉格朗日甚至挖掘了共同朋友的爱子柯西，鼓励其走上数学道路，日后柯西成长为「思想明确属于现代的首个法国数学家」，他首先将严格性引入数学分析，是解决此前所说到的第二次数学危机的重要成就。

拉普拉斯教学之余，也未曾荒废自己的学术成果。在他晋升为院长的同年，他出版了巨著《宇宙体系论》，这本书和他后来陆续出版的《天体力学》共同奠定了天体力学的基础，以牛顿定律和微积分为基础，推演出周天的天体运行，从行星运转到潮汐的涨落。其中最重要的科学思想当属「星云假说」，认为太阳系由气体星云凝聚而成，是最早的关于太阳系起源的科学判定。全书的最后，他还加入了一节天文史纲，其中他自豪地宣布，万有引力定律固然是英国人发现，但没有法国科学院的推动，它便不能有如此之大的影响。他也关注东方的成果，附录中特地对中国先秦时代周公的天文观测方法和自己的现代方法进行比照，还加以评判指出不足。

拉普拉斯更雄心勃勃地认为，依照他的天体力学理论，宇宙往前往后的发展都可以根据简单的定律逐次推出。甚至，如果能知道每一个物件的运转速率和基本性质，一切事物的发展变化都尽在掌握之中。

6. 他放出了拉普拉斯妖

他的自信在 1814 年达到峰值，这一年，他放出了拉普拉斯妖。

好比在一局台球中，如果事先知道每个台球的方位和质量、台球桌的摩擦系数，当挥杆者的力量给定，则根据牛顿定律，自然可以预测出挥杆后每个台球的位移。拉普拉斯把这种自信推广到整个宇宙，认为如果一个智能生物了解某一刻所有自然力及所有物体的位置、质量以及运动状态，那么只要根据公式进行计算，宇宙的过去和未来，将被完完全全地算出。

这个智能生物被后人称作拉普拉斯妖，在一只假想的怪兽的脑海中，没有什么是历史，没有什么是未来，宇宙的一切都是静止不动的画面，没有什么可以逃脱它的法眼。

在拉普拉斯妖的世界中，一切都已经预先决定，世界如同一只上足了发条的钟表一样走下去，走过了零点，便一定会走过零点一刻，一切都按部就班。这种世界观后来被称作决定论，也称作拉普拉斯信条，世界按照物理秩序依存于严格的因果关系。

这是在整个十九世纪都统治着物理学界的理论，也是牛顿力学的辉煌巅峰。拉普拉斯妖高踞在决定论的高塔之上审视着大地，直到一个多世纪以后，屠龙的勇士带着量子力学的利刃席卷而来，海森堡的「不确定性原理」昭示了没有哪个微粒可以被同时精确测定位置以及速度，在微观领域率先宣告了决定论的死刑。在宏观层面上，决定论的高塔也开始坍塌。根据二十世纪中叶气象学家洛伦兹提出的蝴蝶效应，即使是最微小层面的影响，都会对整盘局势产生翻天覆地的改变。就算是在最简单的台球桌上，一旦出杆者想追求精确的九球以上的撞击，则即使场内一个观众的重力场都会对结果产生扰动。而如果要计算一团气体分子的撞击运动，一旦撞击超过 56 次，则宇宙边缘的一个电子的引力都会让结果产生偏移。

分支与混沌理论，也是建基于微积分方程上的成果，所以似乎也可以说，决定论根植于微积分本身，又最终由微积分本身予以否决。

不过，在拉普拉斯著成《天体力学》的时间节点，决定论的形势还一片大好。拿破仑收到他敬献的《天体力学》之时，曾责备他，这部关于世界体系的著作里，为什么一个字也没有提到上帝。

一贯被人诟病谄媚圆滑、见风使舵的拉普拉斯面对皇帝，坦然对答：「陛下，我不需要那个假设。」

这正是天体力学的集大成之时，靠着纯熟的微积分技巧，数学家们不但可以推演既有行星的轨道，甚至在未来可以根据既有星体的轨道变化发现新的行星：在 1846 年海王星的发现中，数学家们在没有任何针对海王星直接观测资料的基础上，仅仅靠着现有天王星轨道的偏离，以纯数学便推演出一颗新行星的存在，最终发现了太阳系第八颗大行星——海王星。这颗淡蓝色的星体孤悬四十亿公里之外的太阳系边陲，如果不是数学家的分析计算，不知何时才能进入人类的视野，也正是因其在发现中的特殊性，它被称作「笔尖下的行星」。

7. 等待高斯

距离莱布尼茨首次发布论文，让微积分首次出现在公众视野之时，已经过去一百三十余年。一百三十余年间，微积分从牛顿与莱布尼茨语焉不详的粗糙手稿，发展成为了由万千精密论文堆砌而成的人类智慧最高成果。

牛顿及莱布尼茨以降，历经伯努利家族、欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯这些第一代微积分数学家的推进，从当年对曲线面积、月球轨道的小小演算，进而发展为囊括极限、导数、无穷序列、无穷级数，衍生出分析力学、天体力学等方方面面的浩大学科。这一批先驱开辟了先路，后来的分析学家柯西、黎曼、刘维尔、魏尔斯特拉斯渐次跟进，将微积分确切化、精密化，解答出当年的「贝克莱悖论」，令第二次数学危机烟消云散。再经过更久之后的康托尔、勒贝格等人的继往开来，到了二十世纪初，微积分已经成为包含无数概念、定义、定理的宝库。

这一百三十余年间，是微积分从无到有的创业阶段，其间数学中心经过数次更迭、数次变迁：它先是从英国牛顿的乡间庄园，来到大英帝国的学术中心皇家学院；随后又东渡英吉利海峡，在柏林与圣彼得堡驻足停留；最后在拉普拉斯和拉格朗日的苦心运筹之下，法国巴黎成为新的数学中心所在。

按照拉普拉斯和拉格朗日的构想，他们已经为法国在革命的废墟上培养提拔了一代精英，法国在此后一个世纪的学术领先地位几乎是不可撼动的。然而，靠着先进的制度、完善的机构、优秀的教师，固然可以把一代优秀的学子培养成一代杰出学者，却不能孕育与生俱来的天才。不远之外的德国郊野，天才的种子在不为人知的角落发轫滋长，要遮掩住法兰西群星的光芒，其实也只需要一轮朗月。

未来拉普拉斯口中「世界上最伟大的数学家」、数学王子高斯于 1777 年降生，并在十九世纪初期以惊人的速度迅速成长起来，即将在智力上对所有法国的数学同行展开毫不留情一视同仁的碾压。

当然，那又是另外一个故事了。

the end

参考资料

《剑桥科学史·第四卷·十八世纪科学》，罗伊·波特，大象出版社

《数学史通论（第 2 版）》，Victor J. Katz，高等教育出版社

《数学史》，斯科特，广西师范大学出版社

《微积分发展史》，C.H.爱德华，北京出版社

《微积分的历程》，William Dunham，人民邮电出版社

《微积分概念发展史》，卡尔·B·波茨，复旦大学出版社

《最后的炼金术士：牛顿传》，迈克尔·怀特，中信出版社

《数学大师：从芝诺到庞加莱》，E.T.贝尔，上海科技教育出版社

《数学恩仇录：数学家的十大论战》，哈尔·赫尔曼，复旦大学出版社

《数学悖论与三次数学危机》，韩雪涛，湖南科学技术出版社

《天才引导的历程》，威廉·邓纳姆，中国对外翻译出版公司

《计算出人意料：从开普勒到托姆的时间图景》，伊法尔·埃克朗，上海教育出版社

《莱布尼茨与中国文化》，孙小礼，首都师范大学出版社

圣安德鲁大学科学家传记百科网页：www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html

感谢中山大学数学系 池也（微博 id：@也不过是池中之物）协助校对本电子书的数学理论部分

感谢知友 @匡世珉 在牛顿与莱布尼茨微积分记号差异方面提供举例

作者说

我是汪有，香港中文大学历史系辅修，知乎科学史话题优秀答主，28 次登上知乎日报，收录文章以科学史相关答案为主。曾在知乎出版《愤怒的牛顿》。

这本《八卦微积分》，讲述了从牛顿莱布尼茨以降，到拉格朗日和拉普拉斯的约一百三十年的微积分建构史。一百三十年间，微积分，从牛顿羊皮纸背上的潦草公式，成为了近现代科学的神圣殿堂。任何新的学科，都不仅仅是教科书里枯燥的公式，而是包含了几百年来科学家们智力接力，并不断巩固、推翻、重建，以及完善。科学家的形象并不冰冷，他们富有学术研究的热情，又同样带着自身的弱点和伟大。

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